impression

de l’addition

samedi 31 octobre 2015


UNE
HISTOIRE D’ « UNITÉ »

Toutes
les situations-problèmes qui se résolvent par une addition de
nombres positifs se ressemblent :

-
des quantités exprimées dans la même unité sont ajoutées

-
le résultat de l’addition est aussi exprimé dans la même unité.

Exemples :

(1)
Lundi, j’ai acheté cinq kilogrammes de tomates et mardi, j’en ai
acheté trois kilogrammes. Combien en ai-je achetées, en tout ?

(2)
J’ai mis deux minutes pour lire l’énoncé d’un exercice et trois
minutes pour le résoudre. Combien de temps ai-je consacré à cet
exercice ?

(3)
L
ors d’un goûter, on a mélangé deux litres de jus d’orange
et trois litres de jus de pommes. Quelle quantité de boisson a-t-on
obtenue ?

(1)
5 kg +
2 kg =
7
kg (2)
3 min +
5 min =
8
min (3)
2 L +
3 L =
5
L

Ces
exemples peuvent paraître trop faciles mais l’idée de l’addition y
est presque entièrement contenue :

cette
histoire d’ unité commune est fondamentale pour comprendre
les techniques d’addition.

Dans
la suite, le mot unité sera souvent utilisé de manière
métaphorique : il sera alors signalé entre guillemets.

Ainsi,
quand un élève de 5ème est confronté au calcul

il
pourrait interpréter et se traduire le calcul de cette manière :

3
« septièmes » +
12 « septièmes »
( ici, l’ « unité » commune
est le « septième » )

donc
3 « septièmes »
+ 12
« septièmes » =
15
« septièmes »

et
donc on écrira

De
même l’élève de 4ème qui devra réduire 3
x
2
+
2 x
+ 5
x
2
+
4 x

devra
considérer les inconnues x
et x
2
comme deux « unités » différentes

Il
devra donc traiter d’une part les quantités d’« unité » « 
x
 »

2
« 
x »
+ 4
« 
x »
=
6 « x »

et
d’autre part les quantités d’« unité » « x
2

 »

3
« 
x
2
 » 
+ 5
« x
2
 »
= 8
« x
2
 »

et
donc 3 x2
+ 2
x
+ 5
x2
+ 4
x
= 8 x
2
+ 6
x

L’élève
de 3ème, quant à lui, devra comprendre que

Ainsi,
quel que soit le niveau, les techniques d’addition tiennent toutes en
ce principe fondamental.

Pour
aller plus loin :

Les difficultés viennent lorsque l’on
cherche à additionner deux nombres exprimés dans deux « unités »
différentes. Par exemple,

ou encore

Pour filer la métaphore de l’
« unité » commune, on ne pourra effectuer les deux
additions ci-dessus si l’on parvient à « convertir »
l’un des deux nombres, c’est-à-dire à le réécrire sous une autre
forme, exprimée dans la même « unité » que l’autre.

Pour le premier calcul, on apprendra
en 6ème, que le nombre 3,5
peut aussi s’écrire

et donc que le calcul

peut aussi s’écrire

Ainsi, les deux nombres sont
maintenant dans la même « unité »

donc on écrira

De même, on apprendra en 3ème, que
le nombre

peut aussi s’écrire

donc

et donc

Parfois, il est impossible d’effectuer
la « conversion » nécessaire :

ainsi les expressions

ou 8 x
2
+ 6
x
ne sont pas « réductibles ».

Pour aller encore plus loin :

Sous cette histoire d’« unité commune
 » se cache le théorème de distributivité :

(voir DU THÉORÈME DE
DISTRIBUTIVITÉ)

5
kg + 2
kg peut s’écrire 5 x 1 kg + 2 x 1 kg

Le
facteur commun est
1 kg

En
factorisant, on obtient 5 x
1 kg
+ 2 x
1 kg =
7
x 1 kg

Et
on retrouve
5
kg
+
2
kg
=
7
kg

peut
s’écrire

(voir DES FRACTIONS)

Le
facteur commun est

(plus haut, on disait que
« septièmes » était l’« unité » commune)

En
factorisant, on obtient


Et
on retrouve


3
x
2
+
5 x
2
peut s’écrire 3
x
x
2

+
5
x
x
2
(voir
DE LA MULTIPLICATION)

Le
facteur commun est

x
2
(plus
haut, on disait que
« x
2

 »
était
l’« unité » commune)

En
factorisant, on obtient
3
x
x
2

+
5
x
x
2
=
8
x
x
2

Et
on retrouve

3
x
2

+

5
x
2

=
8
x
2